L'équation merveilleuse!

ou

le binôme de Newton raconté à mes petits-enfants

de

Pierre et Marie-Noëlle Van Leeuw

Éditions des 3 hibouks

DÉJÀ PARU, DES MÊMES AUTEURS CHEZ LE MÊME ÉDITEUR:

- Notre escapade dans l'espace-temps ou la Relativité Restreinte expliquée à mes petits-enfants

- Dieu joue-t-il aux dés? ou le paradoxe EPR expliqué à mes petits-enfants

- La gravité, ça creuse! ou l'histoire de la gravité expliquée à mes petits-enfants depuis Aristarque jusqu’à Einstein

- La lumière, c'est pas clair! ou la danse incompréhensible des photons racontée à mes petits-enfants

- E = mc^2 ou l’histoire de l’équation la plus célèbre de la physique, depuis Newton jusqu’à nos jours

L'équation merveilleuse ou le binôme de Newton raconté à mes petits-enfants

Copyright © 2017, Éditions des 3 hibouks

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D/2017/13.554/4

Dépôt légal: juin 2017

ISBN de la version kindle: 978-2-930784-46-5

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L'équation merveilleuse!

1. Introduction

2. L'analyse combinatoire

2.1. Les arrangements

2.2. Les permutations

2.3. Les combinaisons

3. Le triangle de Pascal

4. Les essais répétés

4.1. Deux essais

4.2. Les essais multiples

5. Démonstration du binôme de Newton

6. La loi binomiale

6.1. Sa moyenne

6.2. Son écart-type

6.3. Son graphisme

6.3.1. n = 2 ; p = 0,5

6.3.2. n = 20 ; p = 0,5

6.3.3. Probabilité dissymétrique : n = 20 ; p = 0,2

7. La loi normale ou loi de Laplace-Gauss

8. Probabilité et surface

8.1. La binomiale

8.2. La normale

8.2.1. La densité de probabilité

8.2.2. La probabilité

9. Plage utile de la loi normale et de la loi de Poisson

10. La loi des grands nombres

10.1. p est proche de 0,5

10.2. p est proche de 0

11. Cinq exemples

11.1. L'évolution du vivant jusqu'à l'homme

11.2. Le paradoxe EPR

11.3. L'expérience de Buffon

11.4. La roulette au casino

11.4.1. La roulette obéit au binôme

11.4.2. Pourquoi se ruiner au casino?

11.4.3. Ta richesse personnelle et la confiance du casino

11.4.4. Les mises minimale et maximale

11.4.5. Le Labouchère inversé

11.5. La mécanique quantique et la mécanique classique

11.6. Un singe peut-il dactylographier un livre par hasard?

Conclusion

Biographies succinctes

Profil des auteurs

1. Introduction

Cher lecteur, si vous avez lu mes livres précédents, vous connaissez déjà l’admiration profonde que j’ai pour Isaac Newton. Sa biographie, que je donne de façon succincte dans d’autres livres, est d’une telle richesse que j’ose la qualifier comme celle du plus grand philosophe de tous les temps! Ses trois lois du mouvement ainsi que la gravitation universelle suffiraient déjà à le justifier. Mais c’est dans toutes les sciences de son temps qu’il a brillé.

Je vais examiner avec vous les principales conséquences philosophiques et scientifiques de "son" binôme. En partant des mathématiques combinatoires, en passant par les calculs de probabilité, nous démontrerons la loi des grands nombres et quelques-unes de ses conséquences philosophiques.

J’ai détesté le cours de statistique que j’ai subi en première année de mes études d'ingénieur civil. Un professeur pédant s’ingéniait à le rendre uniquement mathématique et le plus compliqué possible, soit par incapacité congénitale à présenter de façon simple des choses simples dont il ne voyait plus la simplicité, soit par volonté d’écraser de sa "science" les minables étudiants qu’il avait devant lui!

Je m’engage à ne pas utiliser dans ce livre de démonstration qui dépasse l’enseignement moyen en option mathématiques ni d’affirmation telle que «on démontre facilement que». Je sais maintenant par expérience qu’il s’agit à chaque fois d’une démonstration très difficile. Je soupçonne ceux qui s’expriment ainsi de le faire pour éviter de devoir présenter devant leur auditoire quelque chose qui sans doute les dépasse.

Voilà: je me sens mieux, je me sens bien après cette mise au point.

2. L’analyse combinatoire

Le binôme est intimement lié à l’analyse combinatoire et, plus précisément, aux combinaisons. Nous allons donc commencer par l’étude de ce que l’on appelle en mathématique les arrangements et les combinaisons. N’ayez pas peur, vous en faites régulièrement sans vous en rendre compte.

Les francophones décrivent trois variables dans l’analyse combinatoire: les permutations, les arrangements et les combinaisons. Les anglo-saxons n’en distinguent que deux: les arrangements, qu’ils appellent «permutations», et les combinaisons, qu’ils appellent «combinations». Je suppose que les Français commencent par les permutations, car ce sont les plus simples à comprendre. Mais les permutations ne sont qu’un cas particulier des arrangements. Tout ceci sera plus clair quand nous aurons fini ce chapitre.

Comme ce texte est rédigé en français, je suis la méthode française.

2.1. Les arrangements

Supposons que nous disposions de n boîtes numérotées de 1 à n:

et de n cartons numérotés de même de 1 à n que l’on peut disposer dans les boîtes.

Prenons au hasard k cartons que nous casons dans les k premières boîtes. Nous obtenons un des arrangements possibles dont le nombre total est symbolisé par Ank. Il fait partie des arrangements de n objets k par k.

Dans la première boîte, nous pouvons placer n’importe lequel des n cartons numérotés. Il y a donc n possibilités. Dans la seconde boîte, nous avons le choix entre n-1 possibilités. Dans la suivante, n-2 possibilités et ainsi de suite jusqu’à la dernière boîte pour laquelle il y a n-k+1 possibilités.

— Comment cela! s’exclame Greg. Pourquoi pas n-k puisqu’on a n objets à placer dans k boîtes?

— Je pense, répond Bon-Papa, qu’il n’y a pas un seul étudiant, sauf ceux qui somnolent dans le fond de l’auditoire, qui ne réagit pas comme toi. En tous cas, j’ai eu la même réaction que toi la première fois que j’ai entendu cela!

Mais c’est bien n-k+1 qui est correct.

Supposons que k=5 et n=60. Reprenons notre dessin des boîtes. Quels numéros portent les cinq dernières?

56 est-il égal n-k ou à n-k+1? demande Bon-Papa.

— Tu as raison, Bon Papa, répond Greg, mais cela paraît comme un sortilège. Il faudra que je m’y fasse!

— Nous sommes donc d’accord que le nombre d’arrangements possibles de n objets en groupes de k est égal à:

Ank=n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)

Exemple: tu as 5 petites autos auxquelles tu tiens beaucoup. Tu veux en exposer 4 sur ta tablette de fenêtre. Tu dois donc commencer par choisir 4 autos parmi les 5 et puis décider l’ordre dans lequel tu les mets. Combien de possibilités as-tu?

Réponse: les arrangements de 5 objets 4 à 4, soit:

A_5^4=5*4*3*2=120

Quand les chiffres sont plus grands, le calcul devient difficile. N'importe quel tableur donne la réponse. Par exemple, dans Excel, cliquez sur la touche fx, et choisissez PERMUTATION, mettez 5 pour nombre et 4 pour nombre choisi.

2.2. Les permutations

C’est un cas particulier des arrangements: tous les n cartons disponibles sont utilisés pour les arrangements. Ce sont donc les arrangements de n objets n à n, mais au lieu de les symboliser par Ann, on les symbolise par Pn et on les appelle Permutations de n objets.

En vertu de ce que nous avons vu dans le cas des arrangements, le nombre de permutations n à n de n objets est égal à:

n (n-1) (n-2) … 3 . 2 . 1

que l’on désigne aussi par n! On dit généralement factorielle de n.

P_4, ou factorielle de 4, par exemple, est égal à 4.3.2.1 = 24. Et s’écrit en abrégé "4!".

Supposons que parmi les n cartons il y en ait de deux groupes. Un groupe de k cartons identiques que nous appelons p et un second groupe de n-k cartons identiques entre eux, mais différents de ceux du premier groupe, que nous appelons q. Le nombre de permutations différentes des n objets est réduit, car permuter deux cartons d’un même groupe ne produit pas une permutation différente des n cartons.

Les cartons identiques entre eux du groupe p sont au nombre de k, il y en a donc k! permutations possibles. Les permutations de q sont au nombre de q!=(n-k)!

En tenant compte de ces deux permutations, on découvre que le nombre de permutations de n objets dont k sont identiques, ainsi que les autres au nombre de (n-k), est égal à:

n! / [k!(n-k)!]

Particularités à ne pas oublier:

Par convention, 0! est égal à 1.

Par définition, 1! = 1 également.

2.3. Les combinaisons

Nous avons vu que pour chaque arrangement Ank, nous choisissons k objets parmi les n disponibles. Avec les k objets de cet arrangement, nous pouvons faire d’autres arrangements en les permutant. Pour les combinaisons, nous nous interdisons de faire ces permutations. Chaque ensemble de k objets n’est pris en considération qu’une fois. Alors que dans les arrangements, nous prenons ces mêmes k objets autant de fois qu’il y a de permutations de ces k objets, c’est-à-dire k! fois.

Les combinaisons sont symbolisées par Cnk. Toutes les permutations de chaque arrangement k étant supprimées:

Cnk = Ank / Pk = [n(n-1)(n-2)...(n-k+1)] / [k(k-1)(k-2)...3.2.1]

(1)

Si nous multiplions les deux termes de cette fraction par (n-k)!, il vient:

Cnk = [n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...3.2.1] / [k(k-1)(k-2)...3.2.1(n-k)!]

(2)

ou encore:

Cnk = n! / [k!(n-k)!]

(3)

Cette formule montre l’intérêt d’avoir créé les permutations. Elle montre aussi que:

Cnk=Cn(n-k)

(4)

On pouvait s’y attendre si l’on constate qu’à chaque choix d’une combinaison de Cnk nous laissons une sélection de (n-k) objets.

Remarquons aussi (voir équation ci-dessus) que le nombre de combinaisons de n objets k à k est égal au nombre des permutations de n objets, dont k sont identiques entre eux, ainsi que les (n-k) objets restants.

3. Le triangle de Pascal

Pages laissées intentionnellement blanches (extrait gratuit)

L'équation merveilleuse!

1. 1. Introduction

2. 2. L'analyse combinatoire

1. 2.1. Les arrangements

2. 2.2. Les permutations

3. 2.3. Les combinaisons

3. 3. Le triangle de Pascal