Notre escapade dans l'espace-temps

ou

la Relativité Restreinte expliquée à mes petits-enfants

de

Pierre et Marie-Noëlle Van Leeuw

Editions des 3 hibouks

Notre escapade dans l’espace-temps ou la Relativité Restreinte expliquée à mes petits-enfants

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Editions des 3 hibouks

Overijse, Belgique

3hibouks.com

ISBN de la version kindle: 978-2-9600934-6-9

DÉJÀ PARU, DES MÊMES AUTEURS CHEZ LE MÊME ÉDITEUR:

- Dieu joue-t-il aux dés? ou le paradoxe EPR expliqué à mes petits-enfants

- La gravité, ça creuse! ou l'histoire de la gravité expliquée à mes petits-enfants depuis Aristarque jusqu’à Einstein

- La lumière, c'est pas clair! ou la danse incompréhensible des photons racontée à mes petits-enfants

Notre escapade dans l'espace-temps ou la Relativité Restreinte expliquée à mes petits-enfants

1. Présentation des principaux intervenants

2. Les enfants se défient à la course

3. La relativité du temps

4. Les ondes marines

5. Le monde de la lumière, de la radio et de la télévision

6. La course entre les photons et nous

7. À 23.417 kilomètres par seconde

8. Nos observations

9. La vitesse et la couleur de la lumière

10. L’espace-temps

11. 300.000 kilomètres par seconde, pas plus

12. L’expérience de Michelson et Morley

Conclusion

Appendice mathématique

1. L’expérience de Michelson et Morley

2. Les équations de base de la relativité, proposées par Einstein

2.1. Le voyage à grande vitesse

2.2. Les équations

2.2.1. Les équations de Lorentz

2.2.2. Les équations simplifiées

2.3. Un exemple chiffré – le voyage de Pierre

2.4. Trois questions

2.4.1. Pierre ou Paul?

2.4.2. Et la taille de Pierre?

2.4.3. La flèche du temps?

2.5. Les équations de Lorentz

2.6. C’est la lumière qui nous joue des tours!

2.7. Mathématiques approfondies

2.7.1. Les équations de Lorentz

2.7.2. Les équations simplifiées

3. Les couleurs relativistes

4. La masse relativiste de Ciboulette

Profil des auteurs

1. Présentation des principaux intervenants

Ciboulette, Natiouchka, Greg et Mouillette ont vécu une aventure extraordinaire. Moi, Bon-Papa, je vais vous la raconter. Il n’est pas possible de présenter toute la richesse de ces personnalités attachantes. Vous les découvrirez en lisant cette histoire. Mais laissez-moi vous les présenter pour l’essentiel.

Les trois premiers sont frère et sœurs. Ils s’entendent comme larrons en foire, s’entraident dans toutes leurs difficultés, sont beaux comme des chérubins. La quatrième est une adorable chienne noire et pour le restant, chacun d’eux a ses propres caractéristiques que voici:

Ciboulette est une grande sœur responsable. Elle est très intelligente et le sait. Et en plus, elle est jolie: regardez ce visage, on croirait voir une madone vénitienne. Elle apprécie l’autorité de ses parents et grands-parents: les grandes personnes sont là pour nous prévenir quand nous nous trompons et pour nous protéger.

Elle demande toujours une explication quand elle ne comprend pas, fermement, sans s’énerver.

Elle a dix ans, lit tout ce qui lui tombe sous la main et parle un langage châtié.

Elle ne prend pas de risque inconsidéré; elle ne monte pas dans les arbres, comme d’autres le font de façon téméraire. Elle est une référence pour sa petite sœur et son petit frère.

Natiouchka est une délicieuse fillette de huit ans. Elle se conduit parfois comme un garçon manqué. Ce n’est pas elle qui hésite à monter à dix mètres de haut dans les grands sapins du jardin, à la terreur de son grand-père, qui se souvient qu’il faisait de même et, rétrospectivement, plaint ses malheureux parents des folles inquiétudes qu’il leur a fait subir...

D’ailleurs, Natiouchka est une grande sportive: à vélo, c’est la plus endurante de la famille, elle patine divinement, que ce soit sur des rollers ou sur la glace, elle nage comme un poisson et, au manège, c’est elle qui dompte les poneys les plus ombrageux.

Natiouchka adore les crêpes, les gigots de mouton, les glaces, les plats en sauce, de viandes ou de poissons, bref tout ce qui est bon. Il n’y a que ce qui est mauvais qu’elle n’aime pas.

Jusqu’à trois ans, Greg ne parlait que Japonais, enfin, une langue que personne ne comprenait. Bon-Papa s’inquiétait un peu, se demandant s’il pourrait un jour échanger avec son petit-fils. Mais il se rassurait en évoquant Albert Einstein qui n’a parlé qu’à quatre ans. Les futurs grands savants pensent si vite et à tant de choses à la fois, qu’ils n’arrivent pas à en parler en même temps. Il leur faut un peu plus de temps qu’aux autres pour dompter leur cerveau fécond et lui imposer le calme nécessaire à une sage expression.

On ne peut savoir à ce jour s’il deviendra un grand savant. Mais aujourd’hui, il a cinq ans et parle avec volubilité en bon français.

Greg est un peu chenapan sur les bords. Il peut par exemple dire à haute voix: «Je veux une crêpe », quand Papa, Maman, ses deux sœurs, Bon-Papa et Mouillette sont réunis à la salle à manger autour du crêpier électrique et de la vasque pleine de pâte à crêpes.

Comme tous font semblant de ne rien entendre, il dit à plus haute voix:

-Personne n’entend que je veux une crêpe?

A ce moment, l’un des convives lui dit:

-C’est comme cela qu’on demande une crêpe?

Il se hâte alors de dire:

-S’il te plaît Maman, je peux avoir une crêpe?

Qu’il reçoit bien entendu immédiatement.

Comme vous le voyez, ce n’est vraiment que sur les bords qu’il est un peu chenapan.

Et comédien avec cela! Il faut le voir se promener comme s’il portait sur les épaules toute la peine du monde, quand on le remballe.

Il se plaint toujours bien à temps quand il s’est fait mal, de préférence même avant, pour être certain de ne pas l’oublier. Quand il vous dit je t'aime, en levant ses petits bras pour donner un bisou, qui ne craquerait?

Mouillette avait près de deux ans quand elle est entrée dans la famille. Les enfants désiraient avoir un chien et, il faut bien le reconnaître, Papa et Maman aussi. Maman se souvenait d’ailleurs comment elle avait elle-même réussi à obtenir un chien, en dépit de l’opposition inquiète de Bonne-Maman. Et elle se souvenait que Bonne-Maman n’avait jamais regretté l’adoption de la délicieuse Charlotte.

Mouillette est une grande chienne noire. Elle aboie de façon impressionnante quand un étranger se présente ou quand quelqu’un la nargue avec un ballon qu’il tient bien haut, comme s’il allait le lancer et qu’il fait plusieurs fois semblant. Elle est capable de sauter brusquement jusqu’à un mètre soixante-trois pour le lui voler et le narguer à son tour en virevoltant autour de lui.

A tout étranger, elle paraît agressive. Mais elle est peureuse et ne demande qu’à être affectueuse. Quand l’étranger nouveau a réussi à l’approcher sans qu’elle s’enfuie, elle s’assied sur son derrière et attend craintivement une première caresse. Quand elle la reçoit, elle éclate de bonheur et... lâche une petite ondée d’apaisement et de joie.

Nous pensons qu’elle a dû être maltraitée dans son jeune âge et la famille a décidé de la garder, malgré ce petit handicap, qui a d’ailleurs tendance à diminuer, à force de bons traitements.

Comme son nom est bien choisi! Cela complique un peu notre vie sociale, car pour la bonne hygiène familiale, tout étranger doit nécessairement faire connaissance avec elle au jardin. Quand il pleut, grêle, neige ou vente violemment, certains visiteurs préfèrent ne pas se laisser adopter. Ils ignoreront donc les trésors d’amitié envahissante dont Mouillette gratifie ceux qu’elle a adoptés.

Qui peut imaginer aujourd’hui qu’un jour, sa petite faiblesse nous sauvera la vie? [1]

Il y a bien d’autres intervenants dans cette aventure. Vous les découvrirez dans le récit. Nous entrons maintenant dans le vif du sujet...

2. Les enfants se défient à la course

Bon-Papa a appris aux enfants un jeu dont Mouillette raffole. Il suffit d’une vieille raquette de tennis et d’une vieille balle. A l’aide de la raquette, on lance la balle le plus loin possible. Et le jeu pour Mouillette consiste à courir ventre à terre pour arriver à l’endroit où la balle va tomber et l’attraper dans la gueule, avant qu’elle ne touche le sol. Elle rate souvent l’atterrissage et doit courir derrière la balle, avant de la ramener fièrement.

-Bon-Papa, à quelle vitesse Mouillette court-elle? demande Ciboulette.

-As-tu déjà vu à la TV un guépard à la poursuite d’une antilope? demande Bon-Papa.

-Oui, c’est un jeu cruel pour l’antilope, répond Ciboulette.

-C’est la loi de la vie dans la jungle: mange ou sois mangé! Au moment de la poursuite, le guépard peut atteindre pendant quelques secondes une vitesse de quatre-vingts kilomètres à l’heure. A comparer leur course, il semble que Mouillette atteigne une quarantaine de kilomètres à l’heure.

-Eh bien, je ne pourrais pas courir aussi vite.

-Bien sûr que non.

-Et la vitesse de la balle, on la connaît?

-Elle dépend de tant de choses que je crois bien devoir répondre non. Il faudrait connaître avec exactitude la tension des cordages, la position exacte de la raquette au moment du choc avec la balle, l’élasticité de la balle, le poids de la balle, la pression atmosphérique, la direction toujours changeante du vent, ...

-Arrête Bon-Papa, ce n’est pas gai.

-Ah bon, j’étais cependant loin d’avoir fini.

-Tu compliques trop le problème, espèce d’ingénieur.

Natiouchka et Greg regardent avec inquiétude Bon-Papa. Mouillette aussi: sa queue et ses oreilles se rabattent. Elle n’est pas loin de l’ondée. Il va se fâcher, c’est sûr, et Ciboulette l’aura bien mérité!

Mais non! Bon-Papa se rend compte qu’il doit bien donner raison à Ciboulette.

-Bien. Nous allons résoudre une devinette, propose Bon-Papa. L’atmosphère se détend. Ciboulette sourit déjà. Elle aime bien les devinettes. Mais celle-ci n’est pas juste. Bon-Papa nous pose un lapin, diront plus tard Ciboulette et Natiouchka.

-Natiouchka joue avec Bouton d’Or, sa licorne. Ciboulette lit une bande dessinée. Greg s’ennuie et croit malin pour s’occuper de subtiliser Bouton d’Or. Il s’enfuit avec Bouton d’Or et court à deux mètres par seconde. Mais Natiouchka se fâche et court derrière lui pour reprendre Bouton d’Or. Elle court à trois mètres par seconde. Quand elle s’élance, Greg a pris deux mètres d’avance. Dans combien de temps va-t-elle le rattraper?

Ciboulette a écouté attentivement.

Natiouchka fronce les sourcils. On ne sait si elle réfléchit ou si elle discrédite en son for intérieur cette fourberie de Bon-Papa qui, sous couvert d’une devinette (ça, elle aime bien), pose un problème de robinet qui coule et de baignoire qui se vide (et ça, elle n’aime pas du tout). Elle regarde intensément Ciboulette, en espérant que celle-ci va rapidement donner la réponse.

Ciboulette commence:

-Il faut trouver le moment où tous deux ont parcouru la même distance.

Natiouchka se détend: si Ciboulette prend l’affaire en mains, ce sera vite fini. Et flûte pour Bon-Papa! Ça lui apprendra.

-Au moment où Natiouchka s’élance à la poursuite de Greg, il a parcouru deux mètres et elle zéro. Après une seconde, il a parcouru quatre mètres et Natiouchka trois. Après deux secondes, il a parcouru six mètres et Natiouchka aussi. C’est donc en deux secondes que le petit chenapan sera mis au pas.

Mais Bon-Papa ne peut s’empêcher de compliquer les choses:

-Deux secondes pour qui? Pour Ciboulette qui regarde la scène, pour Natiouchka qui s’est élancée à trois mètres par seconde ou pour Greg qui lambine à deux mètres par seconde?

3. La relativité du temps

Pages laissées intentionnellement blanches (extrait gratuit).

Appendice mathématique

1. L’expérience de Michelson et Morley

Appelons c la vitesse de la lumière et v la vitesse de la Terre. La distance entre o et les miroirs est égale à d.

Le temps dans la direction du déplacement de la Terre est celui nécessaire à l’aller et au retour du rayon B [5], soit

d/(c+v) + d/(c-v)

soit

(dc-vd+dc+vd)/(c^2-v^2)

soit

2dc/(c^2-v^2)

soit

2d/(c–v^2/c)

soit enfin

(2d/c)/(1-v^2/c^2)

On sait que 1/(1-x) est sensiblement égal à 1+x quand x est très petit. Dans le cas présent, v^2/c^2 est égal à 10-8. Le temps nécessaire à l’aller-retour du rayon B est donc pratiquement égal à

(2d/c) * (1+v^2/c^2)

Dans la direction perpendiculaire au déplacement de la Terre, le temps pour l’aller-retour du signal lumineux se calcule à partir du dessin de la situation:

Comme ci-dessus, d est la distance entre l’émetteur de lumière et le miroir. B est le point de départ du rayon lumineux qui, après réflexion sur le miroir, revient à l’observateur en A. Entre B et A l’observateur a parcouru la distance vt pendant le temps t. Tout ceci n’est valable que si la lumière respecte les lois de Newton–Galilée.

Dans le dessin ci-dessus, la distance entre B et A est forcée pour rendre le calcul compréhensible. c étant beaucoup plus grand que v, les points A et B sont pratiquement confondus dans la réalité. La distance entre A et B est égale à vt. Si d = 5 m, la Terre n’a bougé que de 1 mm entre B et A.

Dans ce cas:

(1) a^2 = d^2 + v^2t^2/4

et

(2) t = 2a/c

où t est le temps mis par la lumière pour aller de B à A après réflexion par le miroir.

De ces deux équations, on déduit:

(3) a^2 = d^2 + v^2*4a^2/4c^2

(4) a^2 = d^2+v^2a^2/c^2

(5) a^2*(1-v^2/c^2)= d^2

(6) d^2/a^2 = 1-v^2/c^2

(7) d/a = (1-v^2/c^2)1/2

(8) a = d/(1-v^2/c^2)1/2

À partir de (2) et (8):

(9) t = 2a/c = 2d/(c*(1-v^2/c^2)1/2)

Or, comme v^2/c^2, et a fortiori v^4/c^4 sont très petits, nous allons démontrer que

(10) 1/(1-v^2/c^2)1/2 = 1+v^2/2c^2

Pour le démontrer, élevons au carré les deux expressions; nous trouvons:

1/(1-v^2/c^2) = 1 +2v^2/2c^2 + v^4/4c^4

En négligeant le terme en v^4/c^4, il reste:

1/(1-v^2/c^2) = 1+v^2/c^2

ce qui est une évidence quand v^2/c^2 est très petit. (10) est donc ainsi prouvé exact.

Le temps t du parcours parallèle à la vitesse de la Terre, calculé ci-dessus, est:

(2d/c) * (1+v^2/c^2)

En remplaçant dans (9) 1/(1-v^2/c^2)1/2 par 1+v^2/2c^2, le temps t du parcours perpendiculaire à la vitesse de la Terre, calculé par (9) et (10), est égal à:

(2d/c)* (1+v^2/2c^2)

Selon Newton et Galilée, t parallèle est supérieur à t perpendiculaire. Certes, la différence est faible puisqu’elle ne dépend que de la moitié de v^2/c^2. Mais cette différence n’a jamais pu être constatée, malgré des milliers d’expériences du plus en plus précises et sophistiquées.

Pour remédier à cette «lacune» de la physique classique, Lorentz et Poincaré ont trouvé les équations de base de la relativité, mais n’ont pas pensé que ces équations pouvaient entrer dans un système physique nouveau, par lequel Einstein allait bouleverser notre conception de l’espace, du temps et de la structure de l’Univers.

2. Les équations de base de la relativité, proposées par Einstein

Pages laissées intentionnellement blanches (extrait gratuit).

Notes

[1] Voir La gravité, ça creuse!, mêmes auteurs, même éditeur [retour]

[2] Avec W pour l’énergie d’un photon, h la constante de Planck et ν pour la fréquence, W = h*ν [retour]

[3] Voir détails sous Les couleurs relativistes dans l’appendice mathématique. [retour]

[4] Le nanomètre (qui s’écrit ‘nm’) est égal à un milliardième de mètre; autant dire qu’il faut des instruments de mesure très fins pour le mesurer. [retour]

[5] Voir sous 12. L’expérience de Michelson et Morley, comment se déplace le rayon B (RB dans le schéma) [retour]

[6] c = la vitesse de la lumière, soit près de 300.000 km/sec. [retour]

[7] Voir dans Mathématiques approfondies la suite de la démonstration pour ceux qu’elle intéresse. [retour]

[8] Voir dans Mathématiques approfondies la suite de la démonstration pour ceux qu’elle intéresse. [retour]

[9] On parle aussi de dilatation du temps, car il semble s’écouler plus lentement. [retour]

Table of Contents

Titre

1. Présentation des principaux intervenants

2. Les enfants se défient à la course

3. La relativité du temps

Appendice mathématique

1. L’expérience de Michelson et Morley

2. Les équations de base de la relativité, proposées par Einstein